حلول تمارين الكتاب المدرسي حول الظواهر الكهربائية

التمرين 10 صفحة 161 من وحدة الظواهر الكهربائية:

نشحن بواسطة مولد (E; r =0) مكثفة مربوطة على التسلسل مع مقاومة R = 20 kΩ، يمثل البيان التالي تغيرات التوتر الكهربائي بين طرفي المكثفة خلال الزمن.

1 ـ عبر عن شدة التيار في كل لحظة بدلالة (u, R, E) ؟

2 ـ أكمل الجدول التالي:

25	20	15	10	5	0	t(s)
						i(A)

3 ـ عين بيانيا قيمة ثابت الزمن τ لثنائي القطب (RC) ؟

4 ـ أوجد قيمة C ؟

5 ـ أرسم البيان i = f(t) ؟

6 ـ كيف تتطور شدة التيار؟

الاجابة:

1 ـ رسم الدارة الكهربائية:

حسب قانون جمع التوترات (قانون كيرشوف)

$$u+u_R=E$$

حسب قانون أوم

$$u_R=Ri$$

بالتعويض في المعادلة الأولى

$$u+Ri=E$$

نستنتج التيار الكهربائي i بدلالة u

$$i=\frac{E-u}{R}$$

2 ـ إتمام الجدول:

بالاعتماد على البيان نجد: E = 4 V

لدينا:

عند $t = 0$ نجد:

$$u=0\Rightarrow i_0=\frac{4-0}{20\times {10}^3}=2\times {10}^{-4}\text{A}$$

عند $t = 5\,\text{s}$ نجد:

$$u=\mathrm{2,5}\text{V}\Rightarrow i_0=\frac{4-\mathrm{2,5}}{20\times {10}^3}=\mathrm{0,75}\times {10}^{-4}\text{A}$$

وبنفس الطريقة نجد:

25	20	15	10	5	0	t(s)
0,00	0,06	0,12	0,31	0,75	2,00	i×10-4A

3 ـ تعيين قيمة ثابت الزمن τ لثنائي القطب (RC):

من البيان نجد: τ = 5 s

4 ـ ايجاد قيمة C:

لدينا:

$$\tau =RC\Rightarrow C=\frac{\tau }{R}$$

وبالتعويض نجد:

$$C=\frac{\mathrm{2,5}}{20\times {10}^3}=\mathrm{2,5}\times {10}^{-4}\text{F}$$

5 ـ رسم البيان i = f(t):

6 ـ كيفية تطور شدة التيار:

نلاحظ أن شدة التيار خلال عملية شحن المكثفة تتناقص من قيمة أعظمية حتى تنعدم.

التمرين 13 صفحة 162 من وحدة الظواهر الكهربائية:

مكثفة سعتها C تم شحنها تحت توتر ثابت (E = 5,0 V). ثم أعيد تفريغها في ناقل أو مي مقاومته (R = 10⁵Ω)، وذلك عند اللحظة 0 = t. يمثل البيان التالي تطورات شحنة المكثفة أثناء تفريغها.

1 ـ أكتب المعادلة التفاضلية للدارة بدلالة q(t) خلال التفريغ ؟

2 ـ بين أن حلها هو q(t) = Q₀.e^-t/τ ؟

3 ـ برهن أن المماس للبيان عند المبدأ يقطع محور الأزمنة عند نقطة توافق (t = τ) ؟

4 ـ عين بيانيا ثابت الزمن ؟

5 ـ احسب سعة المكثفة C ؟

6 ـ أحسب شحنة المكثفة عند اللحظتين 0 = t ، t = 5τ ؟

7 ـ احسب شدة التيار عند نفس اللحظتين السابقتين ؟

الاجابة:

1 ـ كتابة المعادلة التفاضلية للدارة بدلالة q(t):

لدينا:

$$u_C+u_R=0$$

بالتعويض:

$$u_C+R\cdot i=0$$

ولدينا:

$$u_C=\frac{q}{C}\text{و}i=\frac{dq}{dt}$$

بالتعويض مجددًا:

$$\frac{q}{C}+R\cdot \frac{dq}{dt}=0$$

نرتب المعادلة:

$$\frac{dq}{dt}+\frac{1}{RC}\cdot q(t)=0$$

وبما أن:

$$\tau =RC$$

فإن المعادلة تصبح:

$$\begin{array}{cccc}& \frac{dq}{dt}+\frac{1}{\tau }\cdot q(t)=0& & \text{(I)}\end{array}$$

2 ـ الاثبات بأن q(t) = Q₀e^-t/τ يمثل حل للمعادلة التفاضلية (I):

لدينا:

$$\begin{array}{cccc}& \frac{dq}{dt}+\frac{1}{\tau }\cdot q(t)=0& & \text{(I)}\end{array}$$

ولدينا:

$$\begin{array}{cccc}& q(t)=Q_0{e}^{-\frac{t}{\tau }}& & \text{(2)}\end{array}$$

نحسب المشتقة:

$$\begin{array}{cccc}& \frac{dq}{dt}=-\frac{Q_0}{\tau }{e}^{-\frac{t}{\tau }}& & \text{(3)}\end{array}$$

بالتعويض في المعادلة (I):

$$-\frac{Q_0}{\tau }{e}^{-\frac{t}{\tau }}+\frac{1}{\tau }\cdot Q_0{e}^{-\frac{t}{\tau }}=0$$

وبالتالي:

$$0=0$$

وهذا يثبت أن الحل $q(t) = Q_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$ يحقق المعادلة التفاضلية (I).

3 ـ البرهان على أن المماس للبيان عند $M(0; Q_0)$ يقطع محور الأزمنة عند $t = \tau$:

معادلة المماس من الشكل:

$$q(t) = a \cdot t + b$$

حيث:

$$a = \left. \frac{dq}{dt} \right|_{t=0}, \quad b = q(0)$$

ومنه:

$$a = \frac{-Q_0}{\tau} \cdot e^0 = \frac{-Q_0}{\tau}$$

وكذلك:

$$b = q(0) = Q_0 \cdot e^0 = Q_0$$

ومنه معادلة المماس عند $M(0; Q_0)$ هي:

$$q(t) = \frac{-Q_0}{\tau} \cdot t + Q_0$$

من أجل $q = 0$ نجد:

$$\frac{-Q_0}{\tau} \cdot t + Q_0 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{-t}{\tau} + 1 = 0$$

ومنه:

$$\frac{-t}{\tau }=-1\Rightarrow \frac{t}{\tau }=1\Rightarrow t=\tau$$

4 ـ تعيين ثابت الزمن بيانيا:

من البيان نجد: τ = 20 ms

5 ـ حساب سعة المكثفة:

لدينا:

$$\tau = R \cdot C$$

ومنه:

$$C = \frac{\tau}{R}$$

ومنه:

$$C=\frac{20\times {10}^{-3}}{{10}^5}=2\times {10}^{-7}\text{ F}$$

ومنه: C = 0,2 µF

6 ـ حساب شحنة المكثفة:

أ ـ عند t = 0:

Q₀ = 0,2×10^-6×5 = 10^-6 F = 1µF

ب ـ عند t = 5τ:

q(5τ) = Q₀e^-5 = 10^-6×6,7×10^-3 = 6,7nC

7 ـ حساب شدة التيار:

لدينا:

$$i(t) = \frac{dq}{dt} = -\frac{E}{R} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$$

حيث:

$$E = \frac{Q_0}{C} = \frac{10^{-6}}{0{,}2 \times 10^{-6}} = 5 \ \text{V}$$

ومنه:

$$i(t)=-5\times {10}^{-5}\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}\text{ A}$$

أ ـ عند t = 0 نجد: i = - 50 µA

ب ـ عند t = 5τ نجد: i = - 0,33 µA