حلول تمارين الكتاب المدرسي حول التطورات المهتزة

حل التمرين 13 من وحدة التطورات المهتزة:

1ـ اذا بدأ تفريغ المكثفة عند اللحظة t = 0 تكون شدة التيار عندها معدومة، وبعد مرور زمن قدره t = T₀/4 تنعدم شحنة المكثفة، وتبلغ شدة التيار قيمة عظمى.

2 ـ حساب الشدة العظمى للتيار الكهربائي:

لدينا:

$$E_{(C)} = \frac{1}{2} C \cdot U_C^2$$

وكذلك:

$$E_{(L)} = \frac{5}{6} \cdot E_{(C)}$$

وبما أن:

$$E_{(L)} = \frac{1}{2} L \cdot I_{\text{max}}^2$$

فإن:

$$\frac{1}{2} L \cdot I_{\text{max}}^2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2} C \cdot U_0^2$$

نحذف $\frac{1}{2}$ من الطرفين:

$$L \cdot I_{\text{max}}^2 = \frac{5}{6} \cdot C \cdot U_0^2$$

وبحل المعادلة لإيجاد $I_{\text{max}}^2$:

$$I_{\text{max}}^2 = \frac{5 \cdot C \cdot U_0^2}{6 \cdot L}$$

بالتعويض:

• $C = 20 \times 10^{-9} \, \text{F}$
  

• $U_0 = 10 \, \text{V} \Rightarrow U_0^2 = 100$
  

• $L = 0{,}05 \, \text{H}$
  

$$I_{\text{max}}^2 = \frac{5 \cdot 20 \times 10^{-9} \cdot 100}{6 \cdot 0{,}05} = \frac{10^{-5}}{0{,}3} \approx 3{,}33 \times 10^{-5}$$ومنه:
$$I_{\text{max}} \approx \sqrt{3{,}33 \times 10^{-5}} \approx 5{,}8 \times 10^{-3} \, \text{A}$$

3 ـ في أي لحظة يكون i = I_max

يكون التيار $i = I_{\text{max}}$ عندما تنتقل كل طاقة المكثفة إلى الوشيعة بالكامل، أي عندما:

• تفرغ المكثفة شحنتها تمامًا

• وتكون الطاقة الكهرومغناطيسية مخزنة كليًا في الوشيعة على شكل طاقة مغناطيسية

من الناحية الزمنية:

في دارة التجاوب LC المثالية (بدون مقاومة)، يحدث ذلك في اللحظة التي يصبح فيها فرق الكمون عبر المكثفة صفرًا لأول مرة، أي بعد ربع دورة من بدء الحركة.

إذا بدأنا من لحظة تكون فيها المكثفة مشحونًة بالكامل والتيار صفرًا (لحظة شحن كاملة)، فإن:

$$i(t) = I_{\text{max}} \cdot \sin(\omega t)$$

وبالتالي:

$$i = I_{\text{max}} \quad \text{عندما} \quad \omega t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{T}{4}$$

حيث:

• $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

• $T = 2\pi\sqrt{LC}$ هو الدور الذاتي للاهتزازات

 ومنه: T₀ = 49,6 µs

حل التمرين 14 من وحدة التطورات المهتزة:

1/ من البيان (L , C₁)

4T₀₍₁₎ = 1,6 ms = 1,6×10^-3 s ومنه: T₀₍₁₎ = 4×10^-4 s

ولدينا: T₀₍₁₎² = 4π².L.C₁ ومنه: L = T₀₍₁₎²/4π².C₁

ومنه: L = 0,04 H

من البيان (L , C₂)

7T₀₍₂₎/3 = 1,4×10^-3 s ومنه: T₀₍₂₎ = 6×10^-4 s

لدينا: T₀₍₂₎² = 4π².L.C₂ ومنه: C₂ = T₀₍₂₎²/4π².L

ومنه: C₂ = 0,225×10^-6 F

2/ من أجل C₂ > C₁ نجد: T₀₍₂₎ > T₀₍₁₎

ومنه: كلما زادت السعة زاد الدور

3/ حساب قيمة طاقة كل من الجملتين المهتزتين:

E_(C1) = ½C₁.u_C² = 1,8×10^-6 J

E_(C2) = ½C₂.u_C² = 4,05×10^-6 J

4/ إذا كان: E_(C)max = E_(L)max الدارة مثالية (لا توجد مقاومة).

E_(C1) = E_(L)1

1,8×10^-6 = ½L.I₀₁²

ومنه: 1,8×10^-6 = ½×0,04I₀₁²

ومنه: I₀₁ = 0,95×10^-2 A

E_(C2) = E_(L)2

4,05×10^-6 = ½L.I₀₂²

ومنه: 4,05×10^-6 = ½×0,04I₀₂²

ومنه: I₀₂ = 1,42×10^-2 A

حل التمرين 15 من وحدة التطورات المهتزة:

1/ بما أن مكونات الدارة هي (L,C) فالدارة مثالية، ومنه عند غلق القاطعة تتغير شحنة المكثفة بدلالة الزمن بشكل دوري.

2/ كتابة المعادلة التفاضلية للدارة بدلالة الشحنة q:

لدينا قانون جمع التوترات في دارة $LC$:

$$u_L + u_C = 0$$

وبما أن:

$$u_L = L \frac{di}{dt}, \quad u_C = \frac{q}{C}$$

فإن:

$$L \frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = 0$$

ونعلم أن:

$$i = \frac{dq}{dt} \Rightarrow \frac{di}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2}$$

بالتعويض:

$$L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C} q(t) = 0$$

وبقسمة المعادلة على $L$:

$$\frac{d^{2}q}{d{t}^2}+\frac{1}{LC}q(t)=0$$

معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية بالنسبة لـ q

3/ كتابة العبارة الحرفية للدور الذاتي T₀:

$$T_0=2\pi \sqrt{LC}$$

ت ع: T₀ = 6,3×10^-3 s

حل التمرين 16 من وحدة التطورات المهتزة:

1/ الظاهرة التي تحدث في الدارة هي حدوث اهتزازات كهربائية حرة و متخامدة، لأن الدارة تحتوي على مقاومة مع المكثفة والوشيعة.

2/ كتابة المعادلة التفاضلية للدارة (L,r,C) بدلالة u_C(t):

لدينا:

$$u_B + u_C = 0$$

أي:

$$u_L + u_R + u_C = 0$$

نعوض بالعلاقات المعروفة:

• $u_L = L \frac{di}{dt}$

• $u_R = r \cdot i$
  

• $u_C = u_C(t)$
  

فنحصل على:

$$L \frac{di}{dt} + r \cdot i + u_C(t) = 0$$

وبما أن:

$$i = C \frac{du_C}{dt} \quad \Rightarrow \quad \frac{di}{dt} = C \frac{d^2u_C}{dt^2}$$

نعوّض في المعادلة:

$$L \cdot C \frac{d^2u_C}{dt^2} + r \cdot C \frac{du_C}{dt} + u_C(t) = 0$$

نقسم على $LC$:

$$\frac{d^2{u}_C}{d{t}^2}+\frac{r}{L}\frac{d{u}_C}{dt}+\frac{1}{LC}{u}_C(t)=0$$

3/ من أجل r = 0 نجد:

$$\frac{d^2 u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC} u_C(t) = 0$$

حل هذه المعادلة التفاضلية هو:

u_C(t) = U₀cos(ω₀t + φ)

4/  E_(C) = ½C.u_C²

E_(L) = ½L.i²

5/ التعبير عن U_max بدلالة C، L، I_max:

لدينا: E_(C)max = E_(L)max

ومنه:

½C.U_m² = ½L.I_m² 

ومنه:

$$U_{\text{max}}=\sqrt{\frac{L\cdot I_0^2}{C}}$$

حل التمرين 18 من وحدة التطورات المهتزة:

1/ الاهتزازات الحاصلة حرة متخامدة، لان السعة تتناقص مع مرور الزمن.

2/ تعيين قيمة شبه الدور:

لدينا: 4T = 2,5 ms ومنه: T = 0,625 ms

3/ حساب سعة المكثفة:

نلاحظ ان التخامد الحاصل ضعيف ومنه: T ≈ T₀

لدينا:

$$T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$$

نربّع الطرفين:

$$T_0^2 = 4\pi^2 LC$$

ومنه:

$$C = \frac{T_0^2}{4\pi^2 L}$$

ومنه: C = 10^-8 F

4/ حساب الطاقة الابتدائية المخزنة في المكثفة:

لدينا: E_(C) = ½C.U₀²

ومنه: E_(C) = ½×10^-8×25 = 12,5×10^-8 J

5/ تعيين الطاقة المتولدة في الوشيعة عند t = T₀/4:

عند t = T₀/4 تتحول كل E_(C) الى E_(L)

ومنه نجد: E_(L) = 12,5×10^-8 J

حل التمرين 19 من وحدة التطورات المهتزة:

1/ حساب الطاقة المخزنة في المكثفة:

لدينا: τ = R.C = 2×10^-5 s

ومنه: 5τ = 5×2×10^-5 = 10^-4 s

نلاحظ أن 5τ < 1 ms ومنه خلال 1 ms المكثفة تكون مشحونة تماما.

ومنه: E_(C) = ½C.E² = 12,5×10^-5 J

2/ حساب قيمة ذاتية الوشيعة:

لدينا:

$$T_0^2 = 4\pi^2 L C$$

ومنه:

$$L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C}$$

ومنه: L = 0,1 H

3/ الدور والتواتر لا علاقة لهم بتوتر التغذية.

$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \, \text{Hz}$$

حل التمرين 20 من وحدة التطورات المهتزة:

1/ الظاهرة التي تحدث في الدارة هي ظاهرة شحن المكثفة.

2 ـ أ/ يظهر البيان حدوث اهتزازات حرة متخامدة، لأن السعة تتناقص بمرور الزمن.

ب/ حساب قيمة L:

لدينا:

$$T_0^2 = 4\pi^2 L C$$

ومنه:

$$L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C}$$

ومنه:

$$L = \frac{(40 \times 10^{-3})^2}{4\pi^2 \times 4 \times 10^{-3}}$$

ومنه: L = 0,04 H

جـ/ من أجل C' = 4 mF أي C' = 4C نجد: T' = 2T = 80 ms

د/ الطاقة الضائعة بفعل جول في نهاية الاهتزازة الثانية:

من البيان عند t = 2T نجد: u_C(t) = 6,5 V

لدينا: E_(C) = ½C.u_C² = ½×1×10^-3×(6,5)² = 0,021 J 

و عند t = 0 نجد: u_C(t) = 10 V

ومنه: E'_(C) = ½×1×10^-3×(10)² = 0,05 J

الطاقة الضائعة بفعل جول هي ΔE_(C):

ΔE_(C) = 0,05 – 0 021 = 0,029 J

هـ/ تمثيل تغيرات u_C(t) من أجل R = 0: