حلول تمارين الكتاب حول العمل والطاقة الحركية، حركة دورانية

حل التمرين الأول حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 72

- خطأ لأن شعاع السرعة في حركة منتظمة ثابتا في الشدة، ولكن يغير اتجاهه خلال الزمن. لذا لا يمكن لجسم معزول أن يتحرك بحركة دائرية منتظمة.

- صحيح: في الواقع هذه السعة بين السرعة الخطية، والسرعة الزاوية دائما صحيحة ليس فقط في الحركة الدائرية المنتظمة.

- خطأ: لأن الطاقة ليست مقدار شعاعي، ولكن الطاقة هي مقدار سلمى، لذا لا يمكن لشكل منه أن يكون مقدارا شعاعيا.

- خطأ: الطاقة الحركية هي شكل من أشكال الطاقة، و وحدتها هي وحدة الطاقة، أي الجول (J).

- صحيح: تعريف الحركة الانسحابية هو أن يكون لكل نقاط الجسم نفس السرعة، ومنه فإن سرعة نقطة كيفية منه هي سرعة الجسم.

- خطأ: في الحركة الدورانية ليس لكل نقاط الجسم نفس السرعة، ولهذا فإن الطاقة الحركية للجسم تتعلق بسرعة كل نقطة مادية من هذا الجسم، أي بكيفية توزيع هذه النقاط بالنسبة لمحور الدوران. يميز هذا التوزيع عزم عطالة الجسم المحرك.

- نعم: يساعد النشاط 2 من الفقرة 3-5 في فهم كيف تبدي الأجسام الصلبة التي تدور حول محور ثابت، مقاومتا للأثر الدوراني، التي ندعوها العطالة الدورانية.

- خطأ: تتعلق الطاقة الحركية الانسحابية بمعلم الدراسية، لأن السرعة الانسحابية تحسب بالنسبة لمعلم.

- خطأ: تتعلق الطاقة الحركية الدورانية بموضع محور الدوران، لأن عزم عطالة الجسم المتحرك يتعلق بمحور الدوران، أي أن كيفية توزيع نقاط الجسم الصلب تتعلق بموضع محور الدوران.

ـ خطأ: إذا تغيرت سرعة الجسم، فإن طاقته الحركية بالضرورة تتغير.

ـ صحيح: لأن الطاقة الحركية دالة حالة معرفة في كل لحظة.

حل التمرين الثاني حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 72

حساب السرعة الزاوية في كل حالة:

بالنسبة لعقرب الساعات:

$$\omega = \frac{2\pi}{86400}$$

وبحساب القيمة العددية:

$$\omega = 7.27 \times 10^{-5} \, (\text{rad/s})$$

بالنسبة لعقرب الدقائق:

$$\omega = \frac{2\pi}{3600}$$

وبحساب القيمة العددية:

$$\omega = 1.74 \times 10^{-3} \, (\text{rad/s})$$

بالنسبة لعقرب الثواني:

$$\omega = \frac{2\pi}{60}$$

وبحساب القيمة العددية:

$$\omega = 1.047 \times 10^{-1} \, (\text{rad/s})$$

أي:

$$\omega = 10.47 \times 10^{-2} \, (\text{rad/s})$$

حل التمرين الثالث حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 72

لدينا:

$$\omega = \frac{2\pi}{86400}$$

وبحساب القيمة العددية:

$$\omega = 7.27 \times 10^{-5} \, (\text{rad/s})$$

حل التمرين الرابع حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 72

ω = 300 (tr/s) = 300×2π (rd/s)

حل التمرين الخامس حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 72

ω = 10 (rd/s)

ومنه:

$$\omega = \frac{10 \times 60}{2\pi}$$

وبحساب القيمة العددية:

$$\omega = 95.54 \, (\text{tr/min})$$

حل التمرين السادس حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 72

استطاعة المزدوجة هي عمل هذه المزدوجة على الزمن، أي:

لدينا:

$$P = \frac{M \cdot \theta}{t} = M \cdot \omega$$

بالتعويض:

$$P = 100 \times 6$$ومنه:
$$P = 600 \, \text{W}$$

حل التمرين السابع حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 72

W = M.θ = Fdθ = 100×0,1×20×3,14 = 628 (J)

حل التمرين الثامن حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 72

ـ تكون اشارة العمل سالبة

ـ حساب هذا العمل من أجل 50 دورة:

W = M.θ = Fdθ = 15×0,1×100×3,14 = 471 (J)

حل التمرين التاسع حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 72

ـ حساب العمل المنجز في كل حالة:

ـ عمل قوة الفرملة:

W = - M.θ = - Fdθ = - 5×0,1×20×3,14 = - 31,4 (J)

اشارة (-) دلالة على أن العمل مقاوم.

ـ عمل المزدوجة:

W = M.θ = Fdθ = 7×0,03×20×3,14 = 13,2 (J)

حل التمرين 10 حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 72

1 ـ مدة دوران الشمس حول الأرض (الدور).

2 ـ مدة الدورة + طول عقرب الساعة.

3 ـ الإستطاعة + عدد دوران المحرك في الدقيقة (N)

4 ـ الإستطاعة + عدد دوران المحرك في الدقيقة.

حل التمرين 11 حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 73

لدينا:

$$v_1 = R_1 \cdot \omega = \frac{2\pi N R_1}{60}$$

بالتعويض:

$$v_1 = \frac{6.28 \times 20 \times 0.25}{60} = 0.52 \, \text{m/s}$$ولدينا:$$v_2 = R_2 \cdot \omega = \frac{2\pi N R_2}{60}$$

بالتعويض:

$$v_2 = \frac{6.28 \times 20 \times 0.5}{60} = 1.05 \, \text{m/s}$$

حل التمرين 12 حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 73

1 ـ حساب السرعة الزاوية للقمر الاصطناعي:

لدينا:

$$\omega = \frac{2\pi}{86400}$$

وبحساب القيمة العددية:

$$\omega = 7.27 \times 10^{-5} \, \text{rad/s}$$

2 ـ حساب السرعة الخطية:

v = Rω = (R_T + h)ω

ومنه:

v = (6400 + 36000)×1000×7,27×10^-5 = 3080 (m/s)

حل التمرين 13 حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 73

1 ـ حساب السرعة الزاوية لكل عجلة:

لدينا: ω = v/R  حيث:

v = 100 (km/h) = 27,78 (m/s)

ومنه:

ω = 27.78/0,35 = 79,4 (rd/s)

2 ـ ايجاد الزاوية الممسوحة:

لدينا:

$$\theta = \frac{S}{R}$$

بالتعويض:

$$\theta = \frac{1000}{0.35} = 2857.14 \, \text{rad}$$

حل التمرين 14 حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 73

1 ـ حساب السرعة الزاوية لكل عجلة:

لدينا:

$$\omega_1 = \frac{v}{R_1} = \frac{7.5 \times 1000}{3600 \times 0.5} = 4.16 \, \text{rad/s}$$ولدينا:

$${\omega }_2=\frac{v}{R_2}=\frac{7.5\times 1000}{3600\times 1}=2.08\text{rad/s}$$

2 ـ الزاوية الممسوحة من نقطة على العجلة الكبيرة عندما تدور العجلة الصغيرة بدورة واحدة:

θ = π (rd) أي نصف دورة.

حل التمرين 15 حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 73

1 ـ يستحسن لف الحبل على البكرة التي لها قطر أصغر، حتى تقل شدة القوة التي تسحب الحبل على البكرة الكبيرة.

2 ـ قوة السحب F عندما يصعد الجسم بسرعة ثابتة، أي عندما يحدث تساوي العزمان اللذان يديران البكرة:

لدينا:

$$F \cdot R = P \cdot r$$

ومنه:

$$F = \frac{P \cdot r}{R}$$

ومنه:

$$F = \frac{mg \cdot r}{R}$$

وبالتعويض بالقيم نجد:

$$F = \frac{100 \times 9.8 \times 0.1}{0.5} = 196 \, \text{N}$$

3 ـ ايجاد طول الحبل المسحوب:

h = r.θ = 2m 

لأن الحمولة معلقة على البكرة الصغيرة.

 طول الحبل l = R.θ لأن حبل السحب على البكرة R الكبيرة ومنه:

لدينا:

$$l = \frac{R \cdot h}{r}$$

بالتعويض نجد:

$$l = \frac{50 \times 2}{10} = 10 \, \text{m}$$

4 ـ الزاوية الممسوحة هي:

لدينا:

$$\theta = \frac{h}{r}$$

بالتعويض نجد:

$$\theta = \frac{2}{0.1} = 20 \, \text{rad}$$

حل التمرين 16 حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 73

1 ـ ايجاد القوة التي يجب تطبيقها على المقبض لجعل الملفاف في حالة توازن:

 تخضع البكرة المتحركة لثلاث قوى الثقل، توتر الخيط علي الجهتين.

شرط التوازن: 

$$\vec{P}=\vec{T}+\overrightarrow{T^{\mathrm{\prime }}}$$

الثقل مطبق في مركز البكرة ومنه نستنتج: T = T' وتصبح عبارة التوازن: P = 2T

وكذلك الملفاف يخضع لثلاث قوى، قوتي توتر و القوة F.

شرط التوازن ينص على أن مجموع عزوم القوى التي تحاول تدوير الملفاف في جهة عقارب الساعة، يساوي إلى مجموع عزوم القوى التي تدير الملفاف في جهة المعاكسة.

لدينا:

$$F \cdot l + T' \cdot r = T \cdot R$$

و لدينا:

$$T = T' = \frac{P}{2}$$

بالتعويض في المعادلة الأصلية نجد:

$$F \cdot l + \frac{P}{2} \cdot r = \frac{P}{2} \cdot R$$

وبإعادة الترتيب نجد:

$$F \cdot l = \frac{P (R - r)}{2}$$

ومنه:

$$F = \frac{P (R - r)}{2l}$$

بالتعويض العددي نجد:

$$F = \frac{500 \times (0.15 - 0.1)}{2 \times 0.5}$$ $$F = \frac{500 \times 0.05}{1}$$ $$F = 25 \, \text{N}$$

2 ـ اذا كان R = r: نجد: F = 0

حل التمرين 17 حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 73

1 ـ لا: لأن المزدوجة العظمى تكون عند سرعة دوران المحرك 3500 tr/mn ، و الاستطاعة العظمى عندما يدور المحرك بسرعة 6000 tr/mn

ملاحظة: 

ورد خطأ في النص حيث أن قيمة السرعة هي 6000 tr/mn وليس 600 tr/mn

2 ـ حساب المزدوجة المحركة عند السرعة العظمى:

لدينا:

$$P = M \cdot \omega$$

ومنه:

$$M = \frac{P}{\omega}$$

حيث:

$$\omega = 6000 \, \text{tr/min} = 628 \, \text{rad/s}$$

بالتعويض نجد:

$$M = \frac{120 \times 1000}{628}$$ $$M\approx 191\text{N.m}$$

3 ـ حساب الاستطاعة التي توافق المزدوجة المحركة العظمى:

لدينا: P = M.ω حيث: ω = 3500 tr/mn = 366.33 rd/s

ومنه: P = 170×366,33 = 62,3 kW

4 ـ حساب محصلة القوى المطبقة على السيارة:

لدينا:

$$P = F \cdot v$$

ومنه:

$$F = \frac{P}{v}$$

حيث:

$$v = 210 \, \text{km/h} = \frac{210 \times 1000}{3600} = 58.33 \, \text{m/s}$$

بالتعويض نجد:

$$F = \frac{120000}{58.33}$$ $$F\approx 2057.26\text{N}$$

حل التمرين 18 حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 74

1 ـ الطاقة الحركية للكرة وهي تنزلق، ولا تتدحرج أي أن لها حركة انسحابية، وطاقتها الحركية تكتب على شكل:

E_C = ½Mv² = ½×0,5×5² = 6,25 (J)

2 ـ لو كانت تدور حول محور فإن طاقتها الحركية، تكتب على شكل: E_C = ½J_/Δω²  حيث: J_/Δ عزم عطالة الكرة.

ومنه: 

$$E_C = \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5} M R^2 \right) \omega^2$$

بالتبسيط نجد:

$$E_C = \frac{1}{5} M R^2 \omega^2$$

ومنه:

$$\omega = \sqrt{\frac{5 E_C}{M R^2}}$$

بالتعويض بالقيم نجد:

$$\omega = \sqrt{\frac{5 \times 6.25}{0.5 \times 0.01}}$$ومنه:​ $$\omega =79\text{rad/s}$$

حل التمرين 19 حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 74

1 ـ العمل الذي يبذله لقطع مسافة d:

الطريقة الأولى:

بما أن سرعة الجسم ثابتة فإن الجملة (جسم) تحقق مبدأ العطالة، أي أن:

$$\vec{F}+\vec{P}+\vec{R}+\vec{f}=\vec{0}\to \text{(1)}$$

بإسقاط العبارة (1) على محور الحركة نجد: F = f ومنه:

$$W_{AB} (\vec{F}) = |W_{AB} (\vec{f})| = 20 \times 1000$$

ومنه:

$$W_{AB}(\vec{F})=2.0\times {10}^4\text{J}$$

الطريقة الثانية:

نكتب معادلة انحفاظ الطاقة للجملة (جسم)

$$E_{C_A}+W_{AB}(\vec{F})-\mathrm{\mid }{W}_{AB}(\vec{f})\mathrm{\mid }=E_{C_B}$$

حيث: E_CA = E_CB (لأن السرعة ثابتة)

ومنه نجد:

$$W_{AB}(\vec{F})-\mathrm{\mid }{W}_{AB}(\vec{f})\mathrm{\mid }=2.0\times {10}^4\text{J}$$

2 ـ الاستطاعة التي يبذلها:

$$P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{f \cdot d}{\Delta t} = f \cdot v$$

حيث:

v = 25 km/h = 6,94 m/s

ومنه:

P = 20×6,94 = 138,8 W

3 ـ الاستطاعة التي سوف يبذلها عندما يصعد الدراج طريقا مائلا:

$$P' = (f + P \times 5\%) \cdot v$$

بالتعويض بالقيم نجد:

$$P' = \left( 20 + \frac{90 \times 9.8 \times 5}{100} \right) \times 6.94$$

ومنه:

$$P' = \left( 20 + \frac{4410}{100} \right) \times 6.94$$ومنه:
$$P' = 445.63 \, \text{W}$$

حل التمرين 20 حول العمل والطاقة الحركية، حالة حركة دورانية صفحة 74

لدينا: E_C0 + P.t = E_C حيث: E_C0 = 0

ومنه:

$$t = \frac{E_C}{P}$$

حيث: E_C = ½J_/Δω² ، J_/Δ = ½MR² 

ومنه:

$$E_C = \frac{M R^2 \omega^2}{4}$$

ومنه:

$$t = \frac{M R^2 \omega^2}{4P}$$

بالتعويض بالقيم العددية نجد:

$$\omega = 1750 \, \text{tr/min} = \frac{1750 \times 2\pi}{60} = 183.17 \, \text{rad/s}$$ومنه:
$$t = \frac{250 \times (0.75)^2 \times (183.17)^2}{4 \times 3000}$$ومنه:​ $$t \approx 393.18 \, \text{s}$$