بكالوريا تجريبية في مادة الفيزياء، ماي 2025. م1(ع ت)

الموضوع الأول

ملاحظة: يوجد الموضوع مع الحل بصيغة الـ PDF في نهاية المقال

الجزء الأول: يتكون من تمرينين.

التمرين الأول: (06.00 نقاط)

I- أجب بنعم أو لا وصحح الخطأ إن وجد في العبارات التالية:

1- المكثفة ثنائي قطب يتشكل من لبوسين متلامسين عازلين للكهرباء، تمتاز بمقدار فيزيائي يسمى ذاتية المكثفة.

2- عندما نقوم بشحن مكثفة بمولد للتيار الثابت، فإن التوتر بين لبوسيها يزداد حسب تابع أسي بالنسبة للزمن.

3ـ تعطى العبارة اللحظية للطاقة المخزنة في مكثفة بـ :

$E_c(t) = \dfrac{1}{2}Cq^2(t)$

4- تتعلق ذاتية الوشيعة L بالتوتر الكهربائي المطبق بين طرفيها.

5- تعطى عبارة ثابت الزمن للدارة RL بالعلاقة:

$\tau = \dfrac{R + r}{L}$

II - إشارات المرور الضوئية، هي أجهزة توضع في تقاطعات الطرق، أو أماكن عبور المشاة، لتنظيم حركة السير، وللسيطرة على تدفق حركة المرور بشكل آمن، باستخدام أضواء ملونة تبعا لنظام متفق عليه عالميا، وتحتوي هذه الأجهزة على مكثفات ونواقل أومية.

يهدف هذا التمرين الى تحديد مميزات ثنائي القطب RC

من أجل هذا الغرض ننجز الدارة الكهربائية الموضحة بالشكل (01)

والتي تتكون من العناصر الكهربائية التالية:

* مولد للتوتر الثابت قوته المحركة الكهربائية E

* مكثفة فارغة سعتها C = 100µF

* ناقلين أوميين، مقاومة كل منهما R₂, R₁ ، علما أن:

$\dfrac{R_1}{R_2} = 3$

* راسم اهتزاز ذو ذاكرة

* قاطعة K

عند اللحظة t = 0 نغلق القاطعة K، ونعاين بواسطة راسم الاهتزاز ذو الذاكرة التوترين بين طرفي كل من الناقلين الأوميين 

$u_{R_1}(t)$ و$u_{R_2}(t)$، كما هو موضح في الشكل (02).

1ـ ماهي الظاهرة التي تحدث في الدارة ؟ علل.

2- أعد رسم الدارة، ومثل عليها اتجاه التيار الكهربائي، والتوترات.

3- بتطبيق قانون جمع التوترات، استخرج المعادلة التفاضلية لتطور التيار الكهربائي i(t) المار في الدارة.

4ـ بين أن المعادلة: 

$i(t) = \dfrac{E}{R_1 + R_2} \cdot e^{-\dfrac{1}{(R_1 + R_2)C} \cdot t}$

حلا للمعادلة التفاضلية.

5ـ استنتج العبارة اللحظية لكل من $u_{R_1}(t)$ و$u_{R_2}(t)$، ثم أرفق كل توتر بالبيان المناسب.

6- اعتمادا على منحنيي الشكل (02)، 

أوجد قيمة كل من:

أ ـ القوة المحركة الكهربائية للمولد E.

ب ـ  ثابت الزمن τ.

جـ ـ  R₁ ، R₂ .

التمرين الثاني: (07.00 نقاط)

التصبن هي عملية حلمهة للأستر في وسط أساسي، لتشكيل كحول وملح يحتوي على مجموعة الكربوكسيل، يستخدم التصبن بشكل شائع للإشارة إلى تفاعل مادة أساسية معدنية مع الدهون، أو الزيت لتشكيل الصابون.

المتابعة الزمنية لتحول كيميائي، تمكن من متابعة تطور كمية مادة المتفاعلات، والنواتج في أي لحظة زمنية، هذه المتابعة تتم بطرق فيزيائية وكيميائية، نتابع تطور تفاعل التصبن الذي يحدث بين إيثانوات الإيثيل CH₃COOC₂H₅ ، ومحلول هيدروكسيد الصوديوم (Na⁺_(aq) + OH^-_(aq))، هو تفاعل بطيء وتام يتم وفق المعادلة التالية:

CH₃COOC₂H_5(ℓ) + OH^-_(aq) = CH₃COO^-_(aq) + C₂H₅OH_(ℓ)

I- الطريقة الفيزيائية:

عند اللحظة t = 0 نمزج n₀(mol) من محلول هيدروكسيد الصوديوم، مع (n_E(mol من إيثانوات الإيثيل، حيث حجم المزيج التفاعلي V_T = 100mL.

نقوم بقياس الناقلية النوعية للمزيج في لحظات مختلفة، ثم نمثل البيان σ = f(t) المبين في الشكل (3).

1- أنشئ جدولا لتقدم التفاعل؟

2- أوجد عبارة الناقلية النوعية الابتدائية $\sigma_0$ للمزيج عند اللحظة $t = 0$ بدلالة $n_0$، $V_T$، $\lambda_{\mathrm{Na}^+}$، و$\lambda_{\mathrm{OH}^-}$.

3ـ أحسب قيمة n₀.

4ـ بين أن الناقلية النوعية σ(t) عند اللحظة t بدلالة التقدم x(t) تكتب بالشكل: σ(t) = 2,5 – 159x(t)

5- أحسب تقدم التفاعل عند اللحظة t = 80 min ، وماذا تستنتج؟

6ـ عرف السرعة الحجمية للتفاعل، وأحسب قيمتها عند اللحظة t = 0.

7- عين قيمة زمن نصف التفاعل t_1/2.

المعطيات:

• ‏λ₍OH⁻₎ = 20 mS·m²/mol

• ‏λ₍CH₃COO⁻₎ = 4.1 mS·m²/mol

• ‏λ₍Na⁺₎ = 5 mS·m²/mol

II- الطريقة الكيميائية:

نمزج عند t = 0 .  10^-2molمن محلول هيدروكسيد الصوديوم، مع 10^-2mol من إيثانوات الإيثيل حيث حجم المزيج التفاعلي V_T = 100mL، نعایر شوارد الهيدروكسيد OH^-_(aq) بمحلول حمض كلور الهيدروجين (H₃O⁺_(aq) + Cl^-_(aq)) تركيزه المولي c_a = 0,1mol/L

معادلة تفاعل المعايرة: H₃O⁺_(aq) + OH^-_(aq) = 2H₂O_(ℓ)

نمثل الحجم اللازم لتكافؤ المزيج بدلالة الزمن V_E = g(t) كما بالشكل (4).

1ـ أوجد العلاقة بين V_E والتقدم x(t) ، ثم أحسب قيمة التقدم عند اللحظة t = 80min

2- بيّن أن سرعة التفاعل تعطى بالعلاقة:

$$v(t) = -\dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{dV_E(t)}{dt}$$

3ـ أحسب السرعة الحجمية للتفاعل عند اللحظة t = 0

4ـ عرف زمن نصف التفاعل t_1/2 ، ثم حدد قيمته بيانيا ؟

5- هل تتوافق النتائج مع تلك المتحصل عليها بالطريقة الأولى ؟

الجزء الثاني: يتكون من تمرين واحد تجريبي

التمرين التجريبي: (07.00 نقاط)

الحركة المستوية هي حركة جسم على طول فضاء، أو مستوى ثنائي الأبعاد، تشمل هذه الحركة اتجاهين يشار إليهما عادة بالإحداثيات الديكارتية (x ; y)، من المثير للاهتمام ملاحظة الأجسام اليومية وهي تتحرك حركة مستوية، وأهم هذه الحركات حركة جسم على مستوي مائل.

لمعرفة شدة قوة الاحتكاك، التي يخضع لها جسم صلب (S) كتلته m = 500g أثناء حركته على مستوى مائل طوله AB = d ، زاوية ميله عن الأفق α = 30°، في حصة الأعمال المخبرية، قام مجموعة من التلاميذ بتحقيق الجملة الموضحة بالشكل (05)، 

حيث تم ترك جسم ينسحب من الموضع A دون سرعة ابتدائية حتى يصل إلى الموضع B ، تم تتبع حركة الجسم بتقنية التصوير المتعاقب، وخلال مجالات زمنية متعاقبة ومتساوية τ = 0,5s ، وباستعمال برمجية Avistep تم الحصول على الوثيقة التالية:

ملاحظة: الوثيقة توجد في الموضوع بصيغة الـ PDF في نهاية المقال.

1- اشرح باختصار تقنية التصوير المتعاقب.

2- أكمل الجدول التالي:

M6	M5	M4	M3	M2	M1	M0	الموضع
							t(s)
							x(m)
/						/	v(m/s)

يعطى:

$$v_n(t) = \frac{\overline{M_{n-1} M_{n+1}}}{2 \tau}$$

3ـ أرسم المنحنى البياني v = f(t)، باختیار سلم رسم مناسب.

4- استنتج بيانيا سرعة المتحرك عند اللحظتينt₀ = 0 , t₆ = 3s.

5- استنتج طبيعة الحركة، ثم احسب تسارعها، وأكتب المعادلات الزمنية للموضع والسرعة.

6ـ أكتب عبارة شعاع الانتقال بين اللحظتين t₁ = 0,5s , t₅ = 2,5s.

7- بتطبيق القانون الثاني لنيوتن، أوجد عبارة شدة قوة الاحتكاك، ثم أحسب شدتها. (يعطى g = 10m/s²)

8ـ بين أن المسافات المقطوعة خلال مجالات زمنية متعاقبة ومتساوية، تؤلف حدود متتالية حسابية أساسها r = a.τ² ، ثم تأكد من قيمة التسارع a.

تصحيح الموضوع الأول

الجزء الأول: (يكون من تمرينين)

تصحيح التمرين الأول: (06.00 نقاط)

I ـ 1 ـ لا .... المكثفة ثنائي قطب، يتشكل من لبوسين ناقلين للكهرباء يتوسطهما عازل كهربائي. تمتاز بمقدار فيزيائي يسمى سعة المكثفة.

2- لا .... عندما نقوم بشحن مكثفة بمولد للتيار الثابت، فإن التوتر بين لبوسيها يزداد حسب تابع خطي بالنسبة للزمن.

3- نعم .... تعطى العبارة اللحظية للطاقة المخزنة في مكثفة بـ :

$E_c(t) = \frac{1}{2} C u_c^2(t)$

4- لا .... تتعلق ذاتية الوشيعة L بالأبعاد الهندسية لها.

5- لا .... تعطى عبارة ثابت الزمن لدائرة RL بالعلاقة:

$\tau = \frac{L}{R + r}$

II ـ 1 ـ الظاهرة التي تحدث في الدارة: شحن المكثفة.

2- رسم الدارة، وتمثيل اتجاه التيار الكهربائي، والتوترات:

3- استخراج المعادلة التفاضلية لتطور التيار الكهربائي i(t) المار في الدارة:

بتطبيق قانون جمع التوترات نجد:

$$u_C(t) + u_{R_1}(t) + u_{R_2}(t) = E$$ومنه:
$$u_C(t) + (R_1 + R_2) i(t) = E$$ومنه:
$$\frac{du_C(t)}{dt} + (R_1 + R_2) \frac{di(t)}{dt} = 0$$$$\Rightarrow \frac{i(t)}{C} + (R_1 + R_2) \frac{di(t)}{dt} = 0$$
$$\Rightarrow \frac{di(t)}{dt} + \frac{1}{C(R_1 + R_2)} i(t) = 0 \tag{01}$$

4- إثبات حل المعادلة التفاضلية:

لدينا:

$$i(t) = \frac{E}{R_1 + R_2} \cdot e^{- \frac{t}{(R_1 + R_2)C}} \tag{02}$$

ومنه:

$$\frac{di(t)}{dt} = -\frac{E}{(R_1 + R_2)^2 C} \cdot e^{- \frac{t}{(R_1 + R_2)C}} \tag{03}$$

نعوّض (02) و(03) في المعادلة الأصلية (رقم 01) نجد:

$$0=0$$

5- استنتاج العبارة اللحظية للتوترين $u_{R_1}(t)$ و $u_{R_2}(t)$:

باستعمال قانون أوم:

$$u_{R_1}(t) = R_1 \cdot i(t)$$$$=R_1\cdot \frac{E}{R_1+R_2}\cdot e^{\frac{-t}{(R_1+R_2)C}}$$$$\begin{array}{cccc}& =R_1\cdot I_0\cdot e^{\frac{-t}{(R_1+R_2)C}}& & \text{(04)}\end{array}$$$$u_{R_2}(t) = R_2 \cdot i(t)$$$$=R_2\cdot \frac{E}{R_1+R_2}\cdot e^{\frac{-t}{(R_1+R_2)C}}$$$$= R_2 \cdot I_0 \cdot e^{\frac{-t}{(R_1 + R_2)C}} \tag{05}$$

* ارفاق كل بيان بالتوتر الموافق:

لدينا:

$$\frac{R_1}{R_2} = 3 \quad ⇨ \quad R_1 = 3 R_2 \quad ⇨ \quad R_1 > R_2$$

وبما أن:

$$U_{R} = R \cdot i \quad ⇨ \quad U_{R_1} > U_{R_2}$$

إذن:

• البيان (a) يمثل $u_{R_1}(t)$
  

• البيان (b) يمثل $u_{R_2}(t)$

6 ـ أ ـ ايجاد قيمة القوة المحركة الكهربائية للمولد E:

عند اللحظة $t = 0$:

$$E = U_{R_1\text{max}} + U_{R_2\text{max}} = 6\,V + 2\,V = 8\,V$$

ب ـ ايجاد قيمة ثابت الزمن τ:

لدينا :

$$0{,}37 \cdot 6 = 2{,}22\,V$$

بالرجوع إلى البيان (a) نجد:

$$\tau = 20\,ms$$

جـ ـ إيجاد قيمتي $R_1$ و $R_2$:

لدينا:

$$\tau = (R_1 + R_2) \cdot C$$

وبما أن:

$$\frac{R_1}{R_2} = 3 \quad \Rightarrow \quad R_1 = 3 R_2$$

نعوّض في المعادلة:

$$R_2 = \frac{\tau}{4C} = \frac{0{,}02}{4 \cdot 100 \cdot 10^{-6}} = 50\,\Omega$$

ومنه:

$$R_1 = 3 R_2 = 3 \cdot 50 = 150\,\Omega$$

تصحيح التمرين الثاني: (7.00 نقاط)

I - الطريقة الفيزيائية:

1 ـ جدول تقدم التفاعل:

2- إيجاد عبارة $\sigma_0$ للمزيج عند اللحظة $t = 0$ بدلالة: $\lambda_{OH^-},\ \lambda_{Na^+},\ V_T,\ n_0$
حسب قانون كولوروش نجد:

$$\sigma_0 = [\text{Na}^+]_0 \cdot \lambda_{Na^+} + [\text{OH}^-]_0 \cdot \lambda_{OH^-}$$

وبما أن:

$$[\text{Na}^+]_0 = [\text{OH}^-]_0 = c_0 = \frac{n_0}{V_T}$$

نستنتج:

$${\sigma }_0=({\lambda }_{N{a}^{+}}+{\lambda }_{O{H}^{-}})\cdot c_0$$$$= (\lambda_{Na^+} + \lambda_{OH^-}) \cdot \frac{n_0}{V_T} \tag{1}$$

3- حساب قيمة $n_0$:

من البيان نجد عند $t = 0$:

$$\sigma_0 = 2{,}55\,\text{S/m}$$

وباستخدام العلاقة (01):

$$n_0 = \frac{\sigma_0 \cdot V_T}{\lambda_{\text{Na}^+} + \lambda_{\text{OH}^-}}$$

ومنه:

$$n_0 = \frac{2{,}5 \times 100 \times 10^{-6}}{(5 + 20) \times 10^{-3}}$$

ومنه:

$$n_0 = 0{,}01 \ \text{mol/L}$$

4- كتابة $\sigma(t)$:

بشكل:

$$\sigma(t) = 2{,}5 - 1{,}59 x(t)$$

بتطبيق قانون كولوروش و التعويض بعبارات التراكيز نجد عند أي لحظة t:

$$\sigma = c_0 \lambda_{\mathrm{Na}^+} + \frac{n_0 - x}{V_T} \lambda_{\mathrm{OH}^-} + \frac{x}{V_T} \lambda_{\mathrm{CH_3COO}^-}$$

ومنه:

$$\sigma = \sigma_0 + \left(\lambda_{\mathrm{CH_3COO}^-} - \lambda_{\mathrm{OH}^-}\right) \frac{x}{V_T} \quad (02)$$

بالتعويض عدديًا في العلاقة (02) نجد:

$$\sigma (t)=\mathrm{2,5}+(\mathrm{1,4}-20)\cdot \frac{x(t)\cdot {10}^{-3}}{100\cdot {10}^{-6}}$$$$\sigma(t) = 2{,}5 - 1{,}59 \cdot x(t) \tag{03}$$

5- حساب تقدم التفاعل عند اللحظة t = 80 min:

من البيان، وعند الزمن $t = 80 \ \text{min}$، نجد أن:

$$\sigma = 0{,}91 \ \text{S·m}^{-1}$$

ومن المعادلة (03):

$$\sigma = 2{,}5 - 159x$$

نستنتج:

$$x = \frac{2{,}5 - \sigma}{159} = \frac{2{,}5 - 0{,}91}{159}$$

ومنه:

$$x = 0{,}01 \ \text{mol}$$

بما أن $x(t = 80) = n_0 \Rightarrow x = X_{\text{max}}$

ومنه اللحظة t = 80 min توافق اللحظة النهائية لتوقف التفاعل، وعليه المتفاعل المحد هو شوارد الهيدروكسيد.

6- تعريف السرعة الحجمية للتفاعل:

هي تغير التقدم  بالنسبة للزمن في وحدة الحجوم و تعطي عبارتها بـ :

$$v_r(t) = \frac{1}{V_T} \cdot \frac{dx(t)}{dt} \tag{04}$$

حساب قيمتها عند اللحظة t = 0:

من(03) نجد:

$$\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{1{,}59} \cdot \frac{d\sigma}{dt} \tag{05}$$

نعوّض (05) في (04):

$$v_r(t) = \frac{1}{159 \cdot V_T} \cdot \left( - \frac{d\sigma}{dt} \right)$$

بالتعويض نجد:

$$v_V(0) = -\frac{1}{159 \times 0{,}1} \cdot \left( \frac{0 - 2{,}5}{16 - 0} \right)$$

ومنه:

$$v_V(0) \approx 9{,}83 \times 10^{-3} \ \text{mol·L}^{-1}$$

7- تعيين قيمة زمن نصف التفاعل $t_{1/2}$:

بالإسقاط على البيان نجد :

$$t_{1/2} = \dfrac{\sigma_0 + \sigma_t}{2} \Rightarrow t_{1/2} = 11{,}2 \, \text{min}$$

II- الطريقة الكيميائية:

1- إيجاد العلاقة بين $V_E$ و التقدم $x(t)$ :

نعتمد على جدول التقدم التالي:

حيث: $X_{eq} = X_{max}$

عند التكافؤ يكون المزيج ستوكيومتري، ومنه:

$$n_{\text{OH}^-}(t) = c_a \times V_E(t)$$$$\Rightarrow n_0(\text{OH}^-) - x(t) = c_a \times V_E(t)$$$$\Rightarrow x(t)=n_0({\text{OH}}^{-})-c_a\times V_E(t)$$$$\Rightarrow x(t) = 0{,}01 - 0{,}1 \times V_E(t) \tag{06}$$

• حساب قيمة التقدم عند اللحظة $t = 80 \, \text{min}$ :

$V_E = 0$

بالتعويض في (06) :

$$x(t = 80\,\text{min}) = 0{,}01 - 0{,}1 \times 0 = 0{,}01\, mol$$

2 ـ إثبات أن
$$v(t) = -\frac{1}{10} \cdot \frac{dV_E(t)}{dt}$$

من (06) نجد:

$$\frac{dx(t)}{dt} = -0{,}1 \times \frac{dV_E(t)}{dt} \tag{08}$$

نعوض (08) في (07) نجد:

$$v(t) = -0{,}1 \cdot \frac{dV_E(t)}{dt}$$

ومنه:

$$v(t) = -\frac{1}{10} \cdot \frac{dV_E(t)}{dt} \tag{09}$$

3- حساب السرعة الحجمية للتفاعل عند اللحظة t = 0:

من (04) و (09) نجد:

$$v_r(0) = - \frac{1}{10 \times 0{,}1} \times \left( \frac{0 - 0{,}1}{11{,}2 - 0} \right)$$$$= 8{,}93 \times 10^{-3} \ \text{mol} \cdot \text{L}^{-1} \cdot \text{min}^{-1}$$

4- تعريف زمن نصف التفاعل $t_{1/2}$ : 

هو الزمن اللازم لبلوغ التفاعل نصف تقدمه النهائي أو الأعظمي.

• تحديد قيمته بيانيا: بالإسقاط على البيان نجد:

$$\frac{V_E}{2} \Rightarrow t_{1/2} = 11{,}2 \, \text{min}$$

5- نلاحظ أن نتائج التجربتين متقاربتين في حدود دقة التجربة.

تصحيح التمرين التجريبي: (07.00 نقاط)

1- شرح تقنية التصوير المتعاقب: هو التقاط صور لجسم صلب متحرك خلال فترات زمنية قصيرة متعاقبة ومتساوية، ثم معالجة هذه الصور ببرمجيات للإعلام الالي، تسمح هذه الطريقة بتحديد المواضع المتتالية لحركة الجسم.

2 ـ اتمام الجدول:

بالاعتماد على العلاقة المعطاة، ووثيقة التصوير المتعاقب يمكن حساب قيمة السرعة اللحظية في كل موضع:

$$v_n = \frac{\overline{M_{n-1} M_{n+1}}}{2\tau}$$

3- رسم المنحنى البياني $v = f(t)$:

4- استنتاج سرعة المتحرك عند اللحظتين $t_0 = 0$، $t_6 = 3.5s$:

بالإسقاط على البيان بعد تمديده نجد:

$$\begin{aligned} t_0 &= 0 \quad \Rightarrow \quad v_0 = 0.0 \, m/s \\ t_6 &= 3s \quad \Rightarrow \quad v_6 = 6.0 \, m/s \end{aligned}$$

5- استنتاج طبيعة الحركة:

• حركة مستقيمة متسارعة بانتظام، لأن المسار مستقيم، والسرعة تتزايد بانتظام.

• حساب تسارع الحركة:

$$a = \frac{dv}{dt} = \tan \alpha \Rightarrow a = \frac{4 - 2}{2 - 1} = 2 \, m/s^2$$

• كتابة المعادلات الزمنية للموضع والسرعة:

$$\begin{cases} x(t) = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t + x_0 \Rightarrow x(t) = t^2 \\ v(t) = a t + v_0 \Rightarrow v(t) = 2t \end{cases}$$

6 ـ كتابة عبارة شعاع الانتقال بين اللحظتين t₁= 0,5 s ، t₅=2,5 s :

• $t_3 = 2.5s$، $t_1 = 0.5s$، $x(t_3) - x(t_1) = 6$
  

$$M_1 M_3 = x(t_3) - x(t_1) = 6i$$

7ـ ايجاد عبارة شدة قوة الاحتكاك، وحساب قيمتها:

بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على مركز عطالة الكرية نجد:

$$\vec{P} + \vec{R} + \vec{f} = m \vec{a}$$

بالإسقاط على محور الحركة نجد:

$$P_x-f=ma\Rightarrow mg\sin \alpha -f=ma$$$$\begin{array}{cccc}& \Rightarrow a=g\sin \alpha -\frac{f}{m}& & \text{(01)}\end{array}$$$$\Rightarrow f = m (g \sin\alpha - a) \tag{02}$$$$\Rightarrow f = 0{,}5 \times (10 \times 0{,}5 - 2) = 1{,}5\,N$$

8- إثبات أن المسافات المقطوعة خلال مجالات زمنية متتالية ومتساوية، تُشكّل حدود متتالية حسابية أساسها:

$$a\times t^2$$

انطلاقاً من الجدول نجد:

• المسافة الأولى:

$$d_1 = \overline{M_0 M_1} = x_1 - x_0 = 0{,}25 \ \text{m}$$$$\Rightarrow d_1 = \frac{1}{2} a (t_1^2 - t_0^2) = \frac{1}{2} a (t_1 - t_0)(t_1 + t_0)$$

• المسافة الثانية:

$$d_2 = \overline{M_1 M_2} = x_2 - x_1 = 0{,}75 \ \text{m}$$$$\Rightarrow d_2 = \frac{1}{2} a (t_2^2 - t_1^2) = \frac{1}{2} a (t_2 - t_1)(t_2 + t_1)$$

• المسافة الثالثة:

$$d_3 = \overline{M_2 M_3} = x_3 - x_2 = 1{,}25 \ \text{m}$$$$\Rightarrow d_3 = \frac{1}{2} a (t_3^2 - t_2^2) = \frac{1}{2} a (t_3 - t_2)(t_3 + t_2)$$

• المسافة الرابعة:

$$d_4 = \overline{M_3 M_4} = x_4 - x_3 = 1{,}75 \ \text{m}$$$$\Rightarrow d_4 = \frac{1}{2} a (t_4^2 - t_3^2) = \frac{1}{2} a (t_4 - t_3)(t_4 + t_3)$$

• المسافة الخامسة:

$$d_5 = \overline{M_4 M_5} = x_5 - x_4 = 2{,}25 \ \text{m}$$$$\Rightarrow d_5 = \frac{1}{2} a (t_5^2 - t_4^2) = \frac{1}{2} a (t_5 - t_4)(t_5 + t_4)$$

• المسافة السادسة:

$$d_6 = \overline{M_5 M_6} = x_6 - x_5 = 2{,}75 \ \text{m}$$$$\Rightarrow d_6 = \frac{1}{2} a (t_6^2 - t_5^2) = \frac{1}{2} a (t_6 - t_5)(t_6 + t_5)$$

الآن نقوم بحساب الفرق بين كل مسافتين متتاليتين فنجد:

$$d_2 - d_1 = 0{,}5 \ \text{m} = a \cdot \tau^2$$$$d_3 - d_2 = 0{,}5 \ \text{m} = a \cdot \tau^2$$$$d_4 - d_3 = 0{,}5 \ \text{m} = a \cdot \tau^2$$$$\vdots$$

بشكل عام، يمكن تعميم العلاقة على الشكل:

$$d_{n+1} - d_n = a \cdot \tau^2 \tag{*}$$

dn+1​−dn​=a⋅τ2(*)من العبارة $(*)$ نستنتج أن المسافات المقطوعة خلال مجالات زمنية متتالية ومتساوية بحركة مستقيمة متسارعة بانتظام تُؤلف حدود متتالية حسابية أساسها $r$ ثابت حيث:

$$d_{n+1} - d_n = r = a \times t^2 = 0{,}5\,m \tag{**}$$

• التأكد من قيمة التسارع $a$:

مما سبق نجد:

$$r = a \cdot \tau^2 = 0{,}5$$

ومنه:

$$a = \frac{r}{\tau^2} = \frac{0{,}5}{(0{,}5)^2} = \frac{0{,}5}{0{,}25} = 2 \ \text{m/s}^2$$

ومنـه قـيمـة التسارع تتـوافـق مـع القيمة المحسوبة سابقًا.

الموضوع بصيغة الـ PDF

الحل بصيغة الـ PDF