المعادلات التفاضلية للدارة RL

في هذا الدرس، نتناول المعادلات التفاضلية للدارة RL، وهي معادلات رياضية تُستخدم لتحليل سلوك الدوائر الكهربائية التي تحتوي على المقاومة (R) والوشيعة (L). ما هي دارة RL؟ دارة RL هي دائرة كهربائية تتكون من مقاومة ووشيعة موصولين معًا، وتعتبر من الدارات الأساسية في دراسة الدوائر الكهربائية.

1 ــ المعادلة التفاضلية للدارة R L في حالة وشيعة غير صافية ودارة مغلقة بدلالة  u_R:

لدينا:

$$\frac{di}{dt} + \frac{(R + r)}{L}i - \frac{E}{L} = 0 \tag{1}$$

ولدينا:

$$u_R = R \cdot i \quad \Rightarrow \quad i = \frac{u_R}{R}$$

ومنه:

$$i = \frac{1}{R} \cdot u_R \tag{2}$$

ومنه:

$$\frac{di}{dt} = \frac{1}{R} \cdot \frac{du_R}{dt} \tag{3}$$

بالتعويض في المعادلة (1) نجد:

$$\frac{1}{R} \cdot \frac{du_R}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot \frac{1}{R} \cdot u_R - \frac{E}{L} = 0$$

ومنه:

$$\frac{du_R}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_R(t) - \frac{R \cdot E}{L} = 0$$

2 ــ المعادلة التفاضلية للدارة RL في حالة وشيعة غير صافية  ودارة مفتوحة بدلالة  u_R:

لدينا:

$$\frac{du_R}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_R(t) - \frac{R \cdot E}{L} = 0$$

من أجل $E = 0$ نجد:

$$\frac{d{u}_R}{dt}+\frac{(R+r)}{L}\cdot u_R(t)=0$$

3 ــ المعادلة التفاضلية للدارة RL في حالة وشيعة صافية ودارة مغلقة بدلالة u_R:

لدينا:

$$\frac{du_R}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_R(t) - \frac{R \cdot E}{L} = 0$$

عندما $r = 0$ نجد:

$$\frac{d{u}_R}{dt}+\frac{R}{L}\cdot u_R(t)-\frac{R\cdot E}{L}=0$$

4 ــ المعادلة التفاضلية للدارة RL في حالة وشيعة صافية ودارة مفتوحة بدلالة u_R:

لدينا:

$$\frac{du_R}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_R(t) - \frac{R \cdot E}{L} = 0$$

عندما $E = 0$ و $r = 0$ نجد:

$$\frac{du_R}{dt} + \frac{R}{L} \cdot u_R(t) = 0$$

5 ــ المعادلة التفاضلية للدارة RL في حالة وشيعة غير صافية ودارة مغلقة بدلالة u_r:

لدينا:

$$\frac{di}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot i - \frac{E}{L} = 0 \tag{1}$$

ولدينا:

$$u_r = r \cdot i \quad \Rightarrow \quad i = \frac{u_r}{r}$$

ومنه:

$$i = \frac{1}{r} \cdot u_r \tag{2}$$

ومنه:

$$\frac{di}{dt} = \frac{1}{r} \cdot \frac{du_r}{dt} \tag{3}$$

بالتعويض في المعادلة (1) نجد:

$$\frac{1}{r} \cdot \frac{du_r}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot \frac{1}{r} \cdot u_r - \frac{E}{L} = 0$$

ومنه:

$$\frac{d{u}_r}{dt}+\frac{(R+r)}{L}\cdot u_r(t)-\frac{r\cdot E}{L}=0$$

6 ــ المعادلة التفاضلية للدارة RL في حالة وشيعة غير صافية ودارة مفتوحة بدلالة u_r:

لدينا:

$$\frac{du_r}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_r(t) - \frac{r \cdot E}{L} = 0$$

عندما $E = 0$ نجد:

$$\frac{du_r}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_r(t) = 0$$

7 ــ المعادلة التفاضلية للدارة RL في حالة وشيعة غير صافية ودارة مغلقة بدلالة u_B:

لدينا:

$$u_B + u_R = E$$

بالاشتقاق نجد​:

$$\frac{du_R}{dt} + \frac{du_B}{dt} = 0 \tag{1}$$

لدينا:

$$\frac{du_R}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_R(t) - \frac{R \cdot E}{L} = 0$$

ومنه​​:

$$\frac{du_R}{dt} = \frac{R \cdot E}{L} - \frac{(R + r)}{L} \cdot u_R(t) \tag{2}$$

ولدينا​:

$$u_R = E - u_B \tag{3}$$

بالتعويض عن $u_R$ في المعادلة (2) نجد:

$$\frac{du_R}{dt} = \frac{R \cdot E}{L} - \frac{(R + r)}{L} \cdot (E - u_B)$$

ومنه:

$$\frac{du_R}{dt} = \frac{R \cdot E}{L} - \frac{(R + r)}{L} \cdot E + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_B$$

ومنه:

$$\frac{du_R}{dt} = -\frac{r \cdot E}{L} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_B \tag{4}$$

بالتعويض عن $\frac{du_R}{dt}$ في المعادلة (1) نجد:

$$\frac{du_B}{dt} - \frac{r \cdot E}{L} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_B = 0$$

ومنه:

$$\frac{du_B}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_B(t) - \frac{r \cdot E}{L} = 0$$

8 ــ المعادلة التفاضلية للدارة RL في حالة وشيعة غير صافية ودارة مفتوحة بدلالة u_B:

لدينا:

$$\frac{du_B}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_B(t) - \frac{r \cdot E}{L} = 0$$

من أجل $E = 0$ نجد:

$$\frac{du_B}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_B(t) = 0$$

9 ــ المعادلة التفاضلية للدارة RL في حالة وشيعة صافية ودارة مفتوحة بدلالة u_B :

لدينا:

$$\frac{du_B}{dt} + \frac{(R + r)}{L} \cdot u_B(t) - \frac{r \cdot E}{L} = 0$$

من أجل $E = 0$ و $r = 0$ نجد:

$$\frac{d{u}_B}{dt}+\frac{R}{L}\cdot u_B(t)=0$$

اقرأ الظواهر الكهربائية

اقرأ الظواهر الكهربائية. دراسة ثنائي القطب RC

اقرأ الظواهر الكهربائية. دراسة ثنائي القطب RL

اقرأ المعادلة التفاضلية للدارة RC بدلالة الشحنة